Modstand og impedans i et AC-kredsløb

Vil du oprette websted? Find gratis WordPress-temaer og plugins. i-v-relationerne mellem modstande, kondensatorer og induktorer kan udtrykkes i fasenotation. Som fasorer har hver iv-relation form af en generaliseret Ohms lov: V=IZV=IZ hvor fasestørrelsen Z er kendt som impedans. For en modstand, induktor og kondensator er impedanserne henholdsvis: ZR=RZL=jωLZC=1jωC=−jωCZR=RZL=jωLZC=1jωC=−jωC Kombinationer af modstande, induktorer og kapacitans kan repræsenteres af en enkelt ækvivalent impacitans af formen: Z(jω)=R(jω)+jX(jω)enheder af Ω (ohm)Z(jω)=R(jω)+jX(jω)enheder af Ω (ohm) Hvor R (jω) og X (jω) er kendt som henholdsvis "modstands" og "reaktans" dele af den ækvivalente impedans Z. Begge udtryk er generelt funktioner af frekvensen ω. Admittansen er defineret som den omvendte af impedansen. Y=1Zunits af S (Siemens)Y=1Zunits af S (Siemens) Følgelig kan alle DC-kredsløbsrelationer og teknikker introduceret i kapitel 3 udvides til AC-kredsløb. Det er således ikke nødvendigt at lære nye teknikker og formler for at løse AC-kredsløb; det er kun nødvendigt at lære at bruge de samme teknikker og formler med fasorer. Generaliseret Ohms lov Impedanskonceptet afspejler det faktum, at kondensatorer og induktorer fungerer som frekvensafhængige modstande. Figur 1 viser et generisk vekselstrømskredsløb med en sinusformet spændingskilde VS-faser og en impedansbelastning Z, som også er en fasor og repræsenterer effekten af ​​et generisk netværk af modstande, kondensatorer og induktorer. Figur 1 Impedanskonceptet Den resulterende strøm I er en fase bestemt af: V=IZGeneralized Ohms Law (1)V=IZGeneralized Ohms Law (1) Et specifikt udtryk for impedansen Z findes for hvert specifikt netværk af modstande, kondensatorer og induktorer knyttet til kilden. For at bestemme Z er det først nødvendigt at bestemme impedansen af ​​modstande, kondensatorer og induktorer ved hjælp af: Z=VIDdefinition af impedans(2)Z=VIDdefinition af impedans(2) Når impedansen af ​​hver modstand, kondensator og induktor i et netværk er kendt, kan de kombineres i serie og parallelt (ved at bruge de sædvanlige regler for modstande) for at danne en tilsvarende impedans "set" af kilden. Impedans af en modstand iv-forholdet for en modstand er naturligvis Ohms lov, som ved sinusformede kilder skrives som (se figur 2): Figur 2 For en modstand er VR(t)=iR(t)R vR(t)=iR(t)R(3)vR(t)=iR(t)R(3) eller, i faseform, VRejωt=IRejωtRVRejωt=IRejωtR Hvor VR=VRejθtVR=VRejθt og IR=IRejθtIR=IRejθt er fasorer. Begge sider af ovenstående ligning kan divideres med ejωt for at give: VR=IRR(4)VR=IRR(4) Impedansen af ​​en modstand bestemmes derefter ud fra definitionen af ​​impedans: ZR=VRIR=R(5)ZR= VRIR=R(5) Således: ZR = R Impedans af en modstand Impedansen af ​​en modstand er et reelt tal; det vil sige, at den har en størrelsesorden R og en nulfase, som vist i figur 2. Impedansens fase er lig med faseforskellen mellem spændingen over et element og strømmen gennem det samme element. I tilfælde af en modstand er spændingen fuldstændig i fase med strømmen, hvilket betyder, at der ikke er nogen tidsforsinkelse eller tidsforskydning mellem spændingsbølgeformen og strømbølgeformen i tidsdomænet. Figur 2 Fasordiagram over en modstands impedans. Husk at Z=V/L Det er vigtigt at huske på, at fasespændingerne og -strømmene i AC-kredsløb er funktioner af frekvens, V = V (jω) og I = I (jω). Dette faktum er afgørende for at bestemme impedansen af ​​kondensatorer og induktorer, som vist nedenfor. Impedans af en induktor iv-forholdet for en induktor er (se figur 3): Figur 3 For en induktor vL(t)=LdiL(t)dt(6)vL(t)=LdiL(t)dt(6) Ved denne punkt, er det vigtigt at gå forsigtigt frem. Tidsdomæneudtrykket for strømmen gennem induktoren er: iL(t)=ILcos(ωt+θ)(7)iL(t)=ILcos⁡(ωt+θ)(7) Sådan at ddtiL(t)=− ILωsin(ωt+θ)=ILωcos(ωt+θ+π/2)=Re(ILωejπ/2ejωt+θ)=Re[IL(jω)ejωt+θ]ddtiL(t)=−ILωsin⁡(ωt+θ) =ILωcos⁡(ωt+θ+π/2)=Re⁡(ILωejπ/2ejωt+θ)=Re⁡[IL(jω)ejωt+θ] Bemærk, at nettoeffekten af ​​den tidsafledte er at producere en ekstra ( j ω) led sammen med det komplekse eksponentielle udtryk for iL(t). Det vil sige: Tidsdomæne Frekvensdomæne d/dtd/dt jωjω Derfor er faseækvivalenten af ​​iv-forholdet for en induktor: VL=L(jω)IL(8)VL=L(jω)IL(8) Impedansen af en induktor bestemmes så ud fra definitionen af ​​impedans: ZL=VLIL=jωL(9)ZL=VLIL=jωL(9) Således: ZL=jωL=ωL∠π2 Impedans af en induktor (10)ZL=jωL=ωL∠π2 Impedans af en induktor (10) Impedansen af ​​en induktor er et positivt, rent imaginært tal; det vil sige, at den har en størrelse på ωL og en fase på π/2 radianer eller 90◦, som vist i figur 4. Som før er fasen af ​​impedansen lig med faseforskellen mellem spændingen over et element og strømmen gennem det samme element. I tilfælde af en induktor leder spændingen strømmen med π/2 radianer, hvilket betyder, at et træk (f.eks. et nulkrydsningspunkt) af spændingsbølgeformen opstår T /4 sekunder tidligere end det samme træk i den aktuelle bølgeform. T er den almindelige periode. Bemærk, at induktoren opfører sig som en kompleks frekvensafhængig modstand, og at dens størrelse ωL er proportional med vinkelfrekvensen ω. Således vil en induktor "hæmme" strømstrømmen i forhold til frekvensen af ​​kildesignalet. Ved lave frekvenser virker en induktor som en kortslutning; ved høje frekvenser fungerer det som et åbent kredsløb. Figur 4 Fasordiagram over impedansen af ​​en induktor. Husk at Z=V/L Impedans af en kondensator Dualitetsprincippet foreslår, at proceduren til at udlede impedansen af ​​en kondensator skal være et spejlbillede af proceduren vist ovenfor for en induktor. iv forholdet for en kondensator er (se figur 5): Figur 5 For en kondensator iC(t)=CdvC(t)dt(11)iC(t)=CdvC(t)dt(11) Tidsdomæneudtrykket for spændingen over kondensatoren er: vC(t)=VCcos(ωt+θ)(12)vC(t)=VCcos⁡(ωt+θ)(12) Sådan at ddtvC(t)=−VCωsin(ωt+θ) =VCωcos(ωt+θ+π/2)=Re(VCωejπ/2ejωt+θ)=Re[VC(jω)ejωt+θ]ddtvC(t)=−VCωsin⁡(ωt+θ)=VCωcos⁡(ωt+ θ+π/2)=Re⁡(VCωejπ/2ejωt+θ)=Re⁡[VC(jω)ejωt+θ] Bemærk, at nettoeffekten af ​​den tidsafledte er at producere et ekstra (j ω) led sammen med kompleks eksponentiel udtryk for vC(t). Derfor er faseækvivalenten af ​​iv-forholdet for en kondensator: IC=C(jω)VC(13)IC=C(jω)VC(13) Impedansen af ​​en induktor bestemmes derefter ud fra definitionen af ​​impedans: ZC= VCIC=1jωC=−jωC(14)ZC=VCIC=1jωC=−jωC(14) Således: ZC=1jωC=−jωC=1ωC∠−π2(15)ZC=1jωC=−jωC=1ωC(2−15) Impedansen af ​​en kondensator er et negativt, rent imaginært tal; det vil sige, at den har en størrelse på 1/ωC ​​og en fase på −π/2 radianer eller −90o, som vist i figur 6. Som før er fasen af ​​impedansen lig med faseforskellen mellem spændingen over et element og strømmen gennem det samme element. I tilfælde af en kondensator halter spændingen efter strømmen med π/2 radianer, hvilket betyder, at et træk (f.eks. et nulkrydsningspunkt) af spændingsbølgeformen opstår T/4 sekunder senere end det samme træk i den aktuelle bølgeform . T er den fælles periode for hver bølgeform. Figur 6 Fasordiagram over impedansen af ​​en kondensator. Husk at Z=V/L Bemærk at kondensatoren også opfører sig som en kompleks frekvensafhængig modstand, bortset fra at dens størrelse 1/ωC ​​er omvendt proportional med vinkelfrekvensen ω. Således vil en kondensator "hæmme" strømstrømmen i omvendt proportion til kildens frekvens. Ved lave frekvenser virker en kondensator som et åbent kredsløb; ved høje frekvenser virker det som en kortslutning. Generaliseret impedans Impedanskonceptet er meget nyttigt til at løse AC-kredsløbsanalyseproblemer. Det gør det muligt at anvende netværksteoremer udviklet til DC-kredsløb på AC-kredsløb. Den eneste forskel er, at kompleks aritmetik snarere end skalær aritmetik skal bruges for at finde den ækvivalente impedans. Figur 7 afbilder ZR(jω), ZL(jω) og ZC(jω) i det komplekse plan. Det er vigtigt at understrege, at selvom impedansen af ​​modstande er rent reel, og impedansen af ​​kondensatorer og induktorer er rent imaginær, kan den ækvivalente impedans set af en kilde i et vilkårligt kredsløb være kompleks. Figur 7 Impedansen af ​​R, L og C er vist i det komplekse plan. Impedanser i den øverste højre kvadrant er induktive, mens dem i den nederste højre kvadrant er kapacitive. Z(jω)=R+X(jω)(16)Z(jω)=R+X(jω)(16) Her er R modstand og X er reaktans. Enheden for R, X og Z er ohm. Adgang Det blev foreslået, at løsningen af ​​visse kredsløbsanalyseproblemer blev håndteret lettere med hensyn til konduktans end modstande. Dette gælder for eksempel, når man bruger nodeanalyse, eller i kredsløb med mange parallelle elementer, da ledningsevne parallelt tilføjer, som modstande i serie gør. I AC-kredsløbsanalyse kan en analog størrelse defineres - den gensidige af kompleks impedans. Ligesom konduktans G blev defineret som invers af modstand, er admittans Y defineret som invers af impedans: Y=1Zunits af S (Siemens)(17)Y=1Zunits af S (Siemens)(17) Når impedansen Z er rent reel, admittansen Y er identisk med konduktansen G. Generelt er Y dog kompleks. Y=G+jB(18)Y=G+jB(18) hvor G er AC-konduktansen og B er susceptansen, som er analog med reaktans. Det er klart, at G og B er relateret til R og X; forholdet er dog ikke en simpel omvendt. Hvis Z = R + jX , så er admittansen: Y=1Z=1R+jX(19)Y=1Z=1R+jX(19) Multiplicer tælleren og nævneren med det komplekse konjugat Z ̄ = R − jX: Y= ¯¯¯¯Z¯¯¯¯ZZ=R−jXR2+X2(20)Y=Z¯Z¯Z=R−jXR2+X2(20) og konkluder, at G=RR2+X2(21)B=−XR2 +X2G=RR2+X2(21)B=−XR2+X2 Bemærk især, at G ikke er den gensidige af R i det generelle tilfælde! Fandt du apk til Android?

Læg en besked 

Message List